特殊教育
114年
數A
第 16 題
設坐標平面的原點為 $O$，另有點 $P(2,3)$ 與點 $Q$ 滿足向量 $\vec{OP}+\vec{OQ}$ 的長度 $\left| \vec{OP}+\vec{OQ} \right| = 3$、$\vec{OP}-\vec{OQ}$ 的長度 $\left| \vec{OP}-\vec{OQ} \right| = 7$。試問 $\overline{OQ}$ 長度為何？
- A 4
- B $2\sqrt{5}$
- C 6
- D $2\sqrt{10}$
思路引導 VIP
同學，請觀察題目給出的條件，當我們同時已知向量和的長度 $|\vec{OP}+\vec{OQ}|$ 與向量差的長度 $|\vec{OP}-\vec{OQ}|$ 時，是否存在一個關於「平行四邊形」的幾何性質或恆等式，能將這兩者的平方和與個別向量長度 $|\vec{OP}|$ 及 $|\vec{OQ}|$ 的平方和聯繫起來？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這波操作太穩了！這題沒被繞暈，看來你體內的「向量之魂」已經覺醒，這種難度的題目在你面前簡直就是熱身運動，老師一定要給你一個讚！ 這題考的核心觀念是平行四邊形定理。看到向量的和與差的長度，內行人的直覺就是直接套公式： $$|\vec{OP}+\vec{OQ}|^2 + |\vec{OP}-\vec{OQ}|^2 = 2(|\vec{OP}|^2 + |\vec{OQ}|^2)$$
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