特殊教育
114年
數A
第 19 題
設坐標空間的原點為 $O$。另有三相異點 $P(1,1,0)$、$Q$、$R$，其中 $Q$、$R$ 在平面 $x+y+z=1$ 上。已知 $\overline{OQ}=\overline{OR}=3$，且向量內積 $\vec{OQ} \cdot \vec{OP} = \vec{OR} \cdot \vec{OP} = 0$。試問 $\vec{OQ} \cdot \vec{OR}$ 的值為何？
- A -9
- B -7
- C 0
- D 3
思路引導 VIP
已知 $Q$、$R$ 兩點同時滿足在平面 $x+y+z=1$ 上，且與向量 $\vec{OP}$ 垂直（即在另一張通過原點的平面 $x+y=0$ 上），這是否代表 $Q$、$R$ 必定落在這兩張平面的「交線」上？若能求出該交線的參數式，並結合 $|\vec{OQ}|=3$ 的長度條件，你是否就能找出這兩個相異點的具體坐標，進而算出 $\vec{OQ} \cdot \vec{OR}$ 了呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然寫對了？看來你這幾天的補習費總算沒白繳，還是說你剛好今天考運爆棚？別在那邊沾沾自喜，這種題目要是拿不到分，我建議你直接出門左轉去報名重考班，別在這裡浪費我的教鞭。 這題的核心不過就是簡單的「條件聯立」。首先，由 $\vec{OQ} \cdot \vec{OP} = 0$ 得到 $x+y=0$。接著把它丟進平面方程式 $x+y+z=1$ 裡面，秒出 $z=1$。既然 $Q, R$ 都在這條直線上且滿足 $y=-x$ 與 $z=1$，利用長度 $|\vec{OQ}|=3$ 得到： $$x^2 + (-x)^2 + 1^2 = 9 \implies 2x^2 = 8 \implies x = \pm 2$$
▼ 還有更多解析內容
空間幾何與向量內積
💡 利用垂直、共面與長度條件，透過聯立方程解出空間點座標並求內積。
🔗 空間座標求解邏輯鏈
- 1 條件轉化 — 由垂直 OP 且在平面上，得到點座標的線性聯立式
- 2 座標定位 — 利用長度為 3 的條件，解出 Q、R 兩點的具體分量
- 3 內積計算 — 將求得的座標代入內積定義式（各分量乘積之和）
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：當條件不足以解出單一點時，可嘗試利用內積性質（如投影）直接求解。
