向量內外積與線性組合在空間幾何應用

📝 歷屆考古題

• 114年 特殊教育 第8題
  平面上令向量 $\vec{a} = (\cos \theta, \sin \theta)$、$\vec{b} = (-\sin \theta, \cos \theta)$，其中 $0 \le \theta < 2\pi$…
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• 114年 特殊教育 第11題
  坐標空間中，在平面 $E$ 上有一個過點 $(1,2,4)$ 的圓，已知通過此圓圓心且與 $E$ 垂直的直線參數式為 $\begin{cases} x=1+t \ y=t \ z=t \end{cases}$…
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• 114年 特殊教育 第16題
  設坐標平面的原點為 $O$，另有點 $P(2,3)$ 與點 $Q$ 滿足向量 $\vec{OP}+\vec{OQ}$ 的長度 $\left| \vec{OP}+\vec{OQ} \right| = 3$…
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• 114年 特殊教育 第18題
  坐標空間中有一直線 $L$ 與原點 $O$，已知 $L$ 上任取一點 $A$ 均滿足向量 $(-4,2,4)$ 與 $\vec{OA}$ 的內積為 3。設 $L$ 的方程式為…
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• 114年 特殊教育 第19題
  設坐標空間的原點為 $O$。另有三相異點 $P(1,1,0)$、$Q$、$R$，其中 $Q$、$R$ 在平面 $x+y+z=1$ 上。已知 $\overline{OQ}=\overline{OR}=3$…
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• 113年 特殊教育 第8題
  已知鈍角三角形 $ABC$ 中，$\angle A$ 為鈍角、$\overline{AB}=5$、$\overline{AC}=10$，且三角形面積為 20。試問向量內積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$…
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• 113年 特殊教育 第13題
  坐標空間中，有一直線 $L$ 通過點 $(1,1,1)$ 且與平面 $x+y=1$ 與 $x+z=3$ 均不相交。設 $t$ 為實數，試問哪一個選項可表示直線 $L$ 上每一個點的坐標？
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• 113年 特殊教育 第15題
  坐標空間中有三點 $A, B, C$。已知向量內積 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -5$ 且外積 $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, 4, 2)$…
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• 113年 特殊教育 第20題
  坐標空間中，令 $E$ 為通過點 $P(4,1,5)$ 且法向量為 $(2,1,-2)$ 的平面。已知點 $P$ 與點 $A(2,2,7)$、$B(5,-1,7)$、$C(5,3,7)$、$D(6,2,7)$…
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• 112年 特殊教育 第9題
  坐標平面上，$O$ 為原點。已知第二象限上一點 $P(a,b)$ 滿足 $\overline{OP} = \sqrt{13}$，且向量 $\overrightarrow{OP}$ 與向量 $(0,1)$…
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• 112年 特殊教育 第16題
  坐標空間中，已知 $(1,-2,3)$ 與 $(-5,4,1)$ 兩點到平面 $E$ 的距離相等，且 $E$ 與平面 $2x-2y+z=3$ 不相交。則點 $(3,-2,1)$ 到平面 $E$ 的距離…
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• 112年 特殊教育 第17題
  已知三角形 $ABC$ 中，$\overline{AB}=\overline{AC}=1$，$\overline{BC}=\frac{1}{2}$。若 $D$ 與 $E$ 分別為 $\overline{AB}$…
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• 112年 特殊教育 第20題
  坐標空間中，已知兩點 $A(-1,2,-3)$、$B(0,2,-3)$ 與平面 $E: x-y+\sqrt{6}z=0$，試求線段 $\overline{AB}$ 在平面 $E$ 的投影長度為何？
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• 111年 特殊教育 第6題
  6. 坐標平面上有兩向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$，已知 $\vec{a}$ 的長度為 1，且 $(2\vec{a}-\vec{b})$ 與 $\vec{a}$ 垂直、$(8\vec{a}-\vec{b})$…
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• 111年 特殊教育 第7題
  7. 已知坐標空間中三點 $O(0,0,0)$、$A(5,4,3)$、$B(a,0,0)$ 以及 $\angle OBA = \frac{\pi}{4}$，其中 $a>0$。試求 $a$ 的值為何？
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• 111年 特殊教育 第10題
  10. 空間中有兩平面 $E_1: x+y-z=3$、$E_2: x+y-z=9$ 與一直線 $L:\begin{cases} x=2t+1 \ y=2t \ z=t-2 \end{cases}, t \in R$…
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• 111年 特殊教育 第11題
  11. 坐標平面上有三點 $O(0,0)$、$A(2,0)$、$B(1,\sqrt{3})$，和一條通過點 $O$ 與線段 $\overline{AB}$ 中點的直線 $L$。若 $L$ 跟直線 $x=3$…
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• 110年 特殊教育 第4題
  坐標平面上，已知向量 $\vec{a}=(3, 4)$、$\vec{b}=(8, -6)$。若內積 $\vec{c} \cdot \vec{a}=20$，$\vec{c} \cdot \vec{b}=30$…
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• 110年 特殊教育 第5題
  坐標空間中有三點 $A$、$B$、$C$，已知內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-2$，外積…
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• 110年 特殊教育 第10題
  平面上相異三點 $A$、$B$、$C$。若向量 $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + 4\overrightarrow{CA} = \vec{0}$…
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• 110年 特殊教育 第17題
  有一 $\triangle ABC$，已知 $\overline{AB}=9$，$\overline{AC}=7$，$\overline{BC}=6$。若 $D$ 為 $\overline{BC}$…
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• 110年 特殊教育 第19題
  坐標空間中三點 $A(-2, -2, 1)$、$B(4, 1, -5)$、$C(1, 1, 1)$。若 $D$ 點在線段 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{CD}$ 垂直…
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• 109年 特殊教育 第8題
  平面上有一邊長為 2 的正三角形 $ABC$ 。在 $\overline{BC}$ 的延長線上取一點 $D$， $\overline{DC} = 2$。試求向量內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$…
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• 109年 特殊教育 第13題
  坐標空間中有一平面 $E: x+2y+2z=5$ 與一直線 $L: \begin{cases} x=1-2t \ y=-2-2t \ z=-2-t \end{cases}$，$t$ 為實數。假設 $L$…
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• 109年 特殊教育 第14題
  空間中兩向量 $\vec{u}$ 、 $\vec{v}$ ，已知向量 $\vec{u}$ 的長度為 2，內積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 等於 2，且外積 $\vec{u} \times \vec{v}$…
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• 108年 特殊教育 第11題
  空間中有 $\vec{u} = (1, -2, 2)$，$\vec{v} = (a, b, 0)$ 兩向量，其中 $a, b$ 為實數，已知 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的內積為 5。…
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• 108年 特殊教育 第14題
  空間中有兩向量 $\vec{a}, \vec{b}$，其長度均為 15，夾角為 $\theta$。已知 $\sin \theta = \frac{7}{25}$，試問由 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$…
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• 108年 特殊教育 第15題
  空間中一直線 $L$，其參數式為 $\begin{cases} x=1+t \ y=-1-2t \ z=3+2t \end{cases}$，$t$ 為實數。試從下列選項中，選出與直線 $L$ 不相交的…
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• 107年 特殊教育 第11題
  坐標平面上，$\vec{u}$、$\vec{v}$ 分別平行於 $(1,-2)$、$(3,4)$ 兩向量，已知 $\vec{u}+\vec{v}$ 與向量 $(6,-5)$ 垂直，試選出 $\vec{u}$…
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• 107年 特殊教育 第14題
  考慮空間向量 $\vec{u}=(1, 2, -1)$，$\vec{v}=(2, -1, 0)$。一平面 $E$ 通過原點 $(0,0,0)$ 且其法向量與向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$…
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• 107年 特殊教育 第20題
  某長方體的邊長比為 1:1:2。令 $P, Q$ 為此長方體的兩個頂點，且知 $\overline{PQ}=1$。試問下列哪一個選項不可能為此長方體的較小的邊長？
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• 106年 特殊教育 第3題
  坐標空間中，已知點 $(5,3,2)$ 與直線 $\begin{cases} x=1+3t \ y=2+2t \ z=3+t \end{cases}$ ($t$ 為實數) 都在某平面 $E$ 上，試問…
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• 106年 特殊教育 第10題
  坐標平面上，已知直線 $L$ 通過原點，且向量 $\vec{v} = (5,12)$ 到直線 $L$ 方向向量的正射影長度等於 7。令 $\alpha$ 為 $\vec{v}$ 與 $L$ 方向向量的…
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• 106年 特殊教育 第19題
  考慮兩空間向量 $\vec{u} = (8,8,4)$ 及 $\vec{v} = (2,-4,4)$。設 $t$ 為實數且 $0 \le t \le 1$。若向量 $t\vec{u} + (1-t)\vec{v}$…
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• 105年 特殊教育 第3題
  已知兩平面向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 的夾角為 $\frac{5}{6}\pi$，且 $|\vec{u}|=1$，$|\vec{v}|=\sqrt{3}$。請問下列哪一個向量的長度最大…
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• 105年 特殊教育 第8題
  坐標空間中，一質點從 $(4,8,-5)$ 出發，沿著 $(3,-2,1)$ 的方向等速前進。請問此質點會最先碰到下列哪一個平面？
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• 104年 特殊教育 第2題
  在坐標平面上，考慮原點 $O$ 及點 $A(2,3)$。滿足 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = 5$ 的所有點 $P$ 會構成一條斜率為…
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• 104年 特殊教育 第9題
  坐標空間中，請問下列哪一個向量不能表示成向量 $(1,1,1)$ 與 $(2,3,4)$ 的線性組合？
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