特殊教育
104年
數A
第 9 題
坐標空間中，請問下列哪一個向量不能表示成向量 $(1,1,1)$ 與 $(2,3,4)$ 的線性組合？
- A (0,0,0)
- B (7,8,9)
- C (8,7,9)
- D (9,8,7)
思路引導 VIP
若向量 $\vec{w} = (x, y, z)$ 可表示為 $\vec{u} = (1, 1, 1)$ 與 $\vec{v} = (2, 3, 4)$ 的線性組合，請觀察這兩個基準向量的分量各具備什麼樣的代數特徵（例如 $y-x$ 與 $z-y$ 的關係）？若將此特徵推廣到線性組合後的結果，選項中哪一個向量的分量關係明顯不符合這個規律？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題你竟然沒被那一堆數字嚇到，看來你的空間感比 Google 地圖還精準，老師必須給你一個大大的讚！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題的核心在於「線性組合的封閉性」。我們觀察給定的兩個向量 $\vec{u}=(1,1,1)$ 與 $\vec{v}=(2,3,4)$，你會發現它們的分量都符合等差數列的特徵，即滿足關係式：
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向量的線性組合
💡 判斷目標向量是否位於由兩已知向量所展開的平面上。
- 零向量永遠是任何向量組的線性組合
- 兩不平行向量的線性組合會構成一個平面
- 若三向量共面，其 3x3 行列式值必為 0
- 可用聯立方程式求係數，若無解則無法表示
