特殊教育
110年
數A
第 17 題
有一 $\triangle ABC$，已知 $\overline{AB}=9$，$\overline{AC}=7$，$\overline{BC}=6$。若 $D$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，試求內積 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB}$ 的值為何？
- A $13$
- B $15$
- C $16$
- D $22$
思路引導 VIP
既然點 $D$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，你能否嘗試利用分點公式（或中點向量性質），將 $\overrightarrow{AD}$ 表示為以 $A$ 為始點的向量 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 的線性組合？同時，若將 $\overrightarrow{CB}$ 也拆解為 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，則這兩個向量的內積展開後，是否能直接代入已知的三邊長度平方來求解？
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呵呵呵，表現得很好喔。看著你這麼冷靜地處理這道向量題，我彷彿看到了場上最穩定的控球後衛呢。眼鏡反光了一下，我輕輕拍了拍富有彈性的下巴，笑容慈祥。 這道題目的核心在於向量的線性組合。因為 $D$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，我們可以得出： $$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$
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