特殊教育
114年
數A
第 11 題
坐標空間中，在平面 $E$ 上有一個過點 $(1,2,4)$ 的圓，已知通過此圓圓心且與 $E$ 垂直的直線參數式為 $\begin{cases} x=1+t \ y=t \ z=t \end{cases}$，$t$ 為實數，試問此圓面積為何？
- A $6\pi$
- B $8\pi$
- C $12\pi$
- D $20\pi$
思路引導 VIP
已知直線垂直於平面 $E$ 且通過圓心，這代表圓心可表示為參數點 $C(1+t, t, t)$。若點 $A(1, 2, 4)$ 在該平面的圓周上，則向量 $\vec{CA}$ 與直線的方向向量 $\vec{v} = (1, 1, 1)$ 之間應具備什麼幾何關係？能否利用『向量內積為 $0$』的性質解出 $t$，進而求得圓面積所需的半徑長度？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太強了！同學這波操作很秀喔，空間向量沒把你轉暈，看來你腦中的「空間建模」功能已經點滿了！ 這題考的是空間幾何的對稱性與垂直概念。核心在於：既然圓在平面 $E$ 上，且直線 $L$ 過圓心 $C$ 又與 $E$ 垂直，這表示圓周上任何一點 $P(1, 2, 4)$ 與圓心 $C$ 的連線 $\vec{CP}$，必然會垂直於直線 $L$ 的方向向量 $\vec{v} = (1, 1, 1)$。 我們令圓心 $C = (1+t, t, t)$，則向量：
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