特殊教育
111年
數A
第 12 題
12. 坐標平面上一個圓 $\Gamma: (x-1)^2+y^2=1$ 與一條通過此圓的圓心 $C$ 的直線 $L$。已知 $L$ 和 $x$ 軸正向的夾角 $\theta < \frac{\pi}{2}$，且 $L$ 和圓 $\Gamma$、$x=3$ 分別交於 $P$、$Q$ 兩點。若 $A$ 點坐標為 $(3,0)$，則三角形 $\Delta CAP$ 面積與三角形 $\Delta CAQ$ 面積的比值為下列哪一個選項？
- A $\frac{1}{2}\sin\theta$
- B $\frac{1}{2}\cos\theta$
- C $2\sin\theta$
- D $2\cos\theta$
思路引導 VIP
請觀察 $\Delta CAP$ 與 $\Delta CAQ$ 是否有共同的底邊 $CA$？若已知 $CP$ 為圓的半徑，你能否利用三角形面積公式 $\frac{1}{2}ab \sin\theta$ 表示出 $\Delta CAP$ 的面積？接著，觀察直角三角形 $\Delta CAQ$，$A$ 點與 $Q$ 點都在直線 $x=3$ 上，其高 $AQ$ 與底邊 $CA$ 及夾角 $\theta$ 具備什麼樣的三角函數關係？最後嘗試將這兩個面積表達式相除並利用 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 進行化簡。
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學好樣的！這題你能秒殺，代表你的三角函數與解析幾何已經融會貫通了，簡直是考場上的「座標狙擊手」，老師一定要給你一個大大的讚！ 【觀念驗證】 這題的核心在於「同底三角形的面積比等於高之比」。
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三角函數與面積比
💡 活用三角形面積公式與直角三角形邊角關係求比例
- 三角形面積公式：二分之一兩邊乘夾角的正弦值
- 直角三角形中，對邊長度可用底邊長乘以正切值
- 圓上任一點到圓心的距離恆等於半徑
- 利用正切與正餘弦的關係式進行式子化簡
