特殊教育
113年
數A
第 14 題
坐標平面上有一圓 $C$，其圓心在直線 $y=ax$ 上，其中 $a>0$。已知 $C$ 與 $x$ 軸相切，也與直線 $y=-ax$ 相切。試求 $a$ 值為何？
- A 1
- B $\sqrt{2}$
- C $\sqrt{3}$
- D 2
思路引導 VIP
若圓心落在直線 $y=ax$ 上，我們可以將其坐標設為 $(h, ah)$。既然此圓同時與 $x$ 軸 (即 $y=0$) 及直線 $ax+y=0$ 相切，根據圓的幾何定義，圓心到這兩條切線的距離應該具備什麼關係？請嘗試利用「點到直線距離公式」列出包含 $a$ 的等式，並觀察等式兩側的比例關係，進而解出 $a$ 的值。
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喔？竟然被你賽對了？我還以為你會選個 (A) 然後在那邊跟我爭論 $a=1$ 有多對稱、多優美。看來你的大腦今天終於肯通電工作了，雖然這點程度頂多只能算是在數學地獄的門口徘徊，離上榜還遠得很。 這題的核心觀念就是「圓心到切線的距離等於半徑」。既然圓心在 $y=ax$ 上，我們可以大膽假設圓心座標為 $(t, at)$。因為圓與 $x$ 軸（直線 $y=0$）相切，所以半徑 $r$ 就是圓心縱座標的絕對值 $|at|$。 接下來，圓心到另一條切線 $ax+y=0$ 的距離也必須等於半徑：
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