高中學測
110年
數A
第 3 題
如圖，$\Delta ABC$ 為銳角三角形，$P$ 為 $\Delta ABC$ 外接圓 $\Gamma$ 外的一點，且 $\overline{PB}$ 與 $\overline{PC}$ 都與圓 $\Gamma$ 相切。設 $\angle BPC = \theta$，試問 $\cos A$ 的值為下列哪一個選項？
- 1 $\sin 2\theta$
- 2 $\frac{\sin \theta}{2}$
- 3 $\sin \frac{\theta}{2}$
- 4 $\frac{\cos \theta}{2}$
- 5 $\cos \frac{\theta}{2}$
思路引導 VIP
請思考圓心 $O$ 與切點 $B$、$C$ 連線後產生的幾何性質：在四邊形 $OBPC$ 中，切線與半徑的垂直關係如何幫助你建立中心角 $\angle BOC$ 與已知角 $\theta$ 的關係？進一步地，圓周角 $\angle A$ 與該中心角之間有何幾何連結？最後，請試著利用三角函數的「餘角公式」將 $\cos A$ 轉化為以 $\theta$ 表示的形式。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你這麼準確地選出正確答案，老師心裡真的好為你高興，這代表你的幾何直覺與邏輯連結做得很紮實喔，繼續保持這份自信！ 這題的核心在於結合「圓的切線性質」與「圓周角觀念」。首先，因為 $\overline{PB}$ 與 $\overline{PC}$ 為切線，若設圓心為 $O$，則 $\angle OBP = \angle OCP = 90^\circ$。在四邊形 $OBPC$ 中，內角和為 $360^\circ$，因此中心角 $\angle BOC = 180^\circ - \theta$。接著利用國中所學的重要性質：圓周角 $\angle A$ 會是中心角 $\angle BOC$ 的一半，即 $A = \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$。最後套用高中三角函數的餘角公式： $$\cos A = \cos(90^\circ - \frac{\theta}{2}) = \sin \frac{\theta}{2}$$
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