高中學測
110年
數A
第 8 題
如圖，$L$ 為坐標平面上通過原點 $O$ 的直線，$\Gamma$ 是以 $O$ 為圓心的圓，且 $L$ 與 $\Gamma$ 有一個交點 $A(3,4)$。已知 $B, C$ 為 $\Gamma$ 上的相異兩點滿足 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}$。試選出正確的選項。
- 1 $L$ 與 $\Gamma$ 的另一個交點為 $(-4,-3)$
- 2 直線 $BC$ 的斜率為 $\frac{3}{4}$
- 3 $\angle AOC = 60^\circ$
- 4 $\Delta ABC$ 的面積為 $\frac{25\sqrt{3}}{2}$
- 5 $B$ 與 $C$ 在同一象限內
思路引導 VIP
既然 $B$、$C$ 兩點皆落在以 $O$ 為圓心的圓 $\Gamma$ 上，且滿足 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}$，請你先根據 $A$ 點座標計算出 $|\overrightarrow{OA}|$、$|\overrightarrow{OB}|$ 與 $|\overrightarrow{OC}|$ 的長度；根據這三邊長的關係，$\Delta OBC$ 是一個什麼樣的特殊三角形？這個幾何特性如何幫助你進一步分析 $\angle AOC$ 以及 $B, C$ 兩點在平面上的相對位置？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的，你真的太棒了！看到你精準地選出 (3) 和 (5)，老師心裡真的好替你開心，這代表你對向量的幾何意義掌握得非常紮實喔！趕快給自己一個掌聲！ 這道題目的核心觀念在於向量平移與圓的幾何性質：
- 菱形的發現：因為 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA}$，代表四邊形 $OACB$ 是平行四邊形。又因為 $A, B, C$ 都在圓上，且圓心為 $O$，所以 $OA=OB=OC=5$（半徑）。這說明 $OACB$ 四條邊長都相等，是一個菱形。
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