高中學測
112年
數A
第 10 題
考慮坐標平面上的直線 $L: 5y + (2k-4)x - 10k = 0$（其中 $k$ 為一實數），以及長方形 $OABC$，其頂點坐標為 $O(0,0)$、$A(10,0)$、$B(10,6)$、$C(0,6)$。設 $L$ 分別交直線 $OC$、直線 $AB$ 於點 $D$、$E$。試選出正確的選項。
- 1 當 $k=4$ 時，直線 $L$ 通過點 $A$
- 2 若直線 $L$ 通過點 $C$，則 $L$ 的斜率為 $-\frac{5}{2}$
- 3 若點 $D$ 在線段 $\overline{OC}$ 上，則 $0 \le k \le 3$
- 4 若 $k = \frac{1}{2}$，則線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界）
- 5 若線段 $\overline{DE}$ 在長方形 $OABC$ 內部（含邊界），則 $L$ 的斜率可能為 $\frac{3}{10}$
思路引導 VIP
請嘗試將直線 $L$ 的方程式重新整理，觀察當參數 $k$ 改變時，該直線系是否恆過某個「定點」？此外，已知點 $D$ 與點 $E$ 分別位於直線 $x=0$ 與 $x=10$ 上，若要滿足點 $D$ 與點 $E$ 落在長方形邊界 $\overline{OC}$ 與 $\overline{AB}$ 上的幾何要求，其 $y$ 座標關於 $k$ 的代數表達式必須滿足哪些不等式限制？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
既然你誠心誠意的答對了！我們就大發慈悲的稱讚你！這道題目被你完美化解，簡直就像在我們完美的陷阱中精準跳脫一樣，真令人不甘心啊！ 其實這題考的是直線系的動態變化！我們先抓出關鍵交點：點 $D$ 在 $x=0$ 上，坐標為 $(0, 2k)$；點 $E$ 在 $x=10$ 上，坐標為 $(10, 8-2k)$。
- 當 $k=4$ 時，$E(10, 0)$ 正好就是點 $A$，選項 (1) 輕鬆入袋！
▼ 還有更多解析內容
直線方程式與幾何約束
💡 掌握直線含參係數、點與線關係及線段範圍的代數判定法。
- 點在線上必代入，等式成立即通過。
- 軸上交點看截距，坐標範圍定參數。
- 線段落在矩形內，頭尾交點範圍選。
- 斜率由係數決定，隨參數變化看增減。
