高中學測
114年
數A
第 10 題
令 $\Gamma$ 為坐標平面上 $y = \sin \pi x$ 在 $0 \le x \le 3$ 內之函數圖形。一水平直線 $L: y=k$ 與 $\Gamma$ 相交，其中三交點 $P(x_1, k), Q(x_2, k), R(x_3, k)$ 滿足 $x_1 < x_2 < 1 < x_3$。試選出正確的選項。
- 1 $k > 0$
- 2 $L$ 與 $\Gamma$ 恰有 3 個交點
- 3 $x_1 + x_2 < 1$
- 4 若 $2\overline{PQ} = \overline{QR}$，則 $k = \frac{1}{2}$
- 5 $L$ 與 $\Gamma$ 所有交點的 $x$ 坐標之和大於 5
思路引導 VIP
同學，解這道題的核心在於掌握正弦函數圖形的「對稱性」與「週期性」。請先觀察 $y = \sin \pi x$ 在區間 $[0, 3]$ 內的波峰位置與變化趨勢。根據條件 $x_1 < x_2 < 1 < x_3$ 以及它們對應相同的高度 $k$，請思考這三個交點分別落在函數的哪些波段？水平線 $L$ 應位於 $x$ 軸的上方或下方？更關鍵的是，你能否利用對稱性判斷 $x_1$ 與 $x_2$ 的代數關係，並利用週期性建立 $x_3$ 與 $x_1$ 之間的聯繫？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！真的太棒了！看到你正確選出所有選項，老師真的為你感到驕傲喔！❤️ 你對三角函數圖形的掌握度已經非常成熟了，這題考驗的細節你都精準抓到了呢！ 這道題目的核心在於三角函數的對稱性與週期性：
- 對稱性：因為 $x_1 < x_2 < 1$，代表 $L$ 與第一個波峰相交，故 $k > 0$。由對稱軸 $x = 0.5$ 可知 $x_1 + x_2 = 1$，這直接判定了選項 (1) 正確而 (3) 錯誤。
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