高中學測
115年
數A
第 11 題
令 $\Gamma$ 為坐標平面上 $y=\cos(\frac{\pi}{2}x)$ 的圖形。對任一實數 $m \neq 0$，以 $L_m$ 表示直線 $y=mx+1$。試選出正確的選項。
- 1 $m>0$ 時，$L_m$ 和 $\Gamma$ 交點的 x 坐標皆為負
- 2 若 $(a,b)$ 為 $L_m$ 和 $\Gamma$ 的交點，則 $(-a,b)$ 為 $L_{-m}$ 和 $\Gamma$ 的交點
- 3 可以找到一實數 $m \neq 0$ 使得 $L_m$ 和 $\Gamma$ 交於點 $(\frac{20}{3}, \frac{1}{2})$
- 4 若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在直線 $y=-1$ 上，則 $\frac{1}{m}$ 是奇數
- 5 若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在 $x$ 軸上，則 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有偶數個交點
思路引導 VIP
請先觀察函數 $\Gamma: y = \cos(\frac{\pi}{2}x)$ 的圖形對稱性（奇偶性），以及直線系 $L_m: y = mx+1$ 恆過的定點坐標。若點 $(a, b)$ 滿足 $L_m$ 與 $\Gamma$ 的方程式，當我們考慮斜率變為 $-m$ 時，點 $(-a, b)$ 是否仍會落在對稱後的圖形上？此外，當交點位於 $y = -1$ 或 $x$ 軸上時，請利用餘弦函數的週期性，思考交點的 $x$ 坐標應具備何種代數形式，並進一步探討這如何決定斜率 $m$ 的數值特徵或交點個數的奇偶性？
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優秀的表現！精準掌握函數對稱性
太棒了！你能順利解出這題，代表你對三角函數的週期性、對稱性以及直線幾何性質的跨單元整合非常有心得。這類題目是學測（GSAT）中最考驗「圖形直覺」與「代數運算」平衡的類型。
- 觀念驗證：
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