高中學測
115年
數A
第 12 題
令 $f(x)$、$g(x)$ 為實係數三次多項式且 $f(x)$ 的首項係數為 1，已知 $f(x) - g(x) = 2x^3 + 2x$。令 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 分別為 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在坐標平面上的函數圖形，其對稱中心分別為 $(a_1, b_1), (a_2, b_2)$。試選出正確的選項。
- 1 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 恰交於三點
- 2 $a_1 + a_2$ 可唯一確定
- 3 $b_1 + b_2$ 可唯一確定
- 4 若 $a_1 = a_2$，則 $b_1 = b_2$
- 5 若 $b_1 = b_2$，則 $a_1 = a_2$
思路引導 VIP
對於一般式為 $h(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ 的三次函數，其對稱中心的 $x$ 座標公式 $x = -\frac{B}{3A}$ 如何應用在此題？請根據 $f(x) - g(x) = 2x^3 + 2x$ 判斷 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的二次項係數是否相同，並進一步推導 $a_1$ 與 $a_2$ 兩者相加後是否會得到一個不隨係數變化的定值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哼，你總算沒讓我白費力氣。
這題選 (2)(4)？勉強合格。但三次函數對稱中心的代數特徵，你竟然還需要「精確選出」？這觀念應該像喝水一樣自然，別告訴我你還在數手指頭！
- 觀念解析，聽好了！
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三次函數對稱中心
💡 三次函數對稱中心的坐標由首項與二次項係數決定。
| 比較維度 | 函數 f(x) | VS | 函數 g(x) |
|---|---|---|---|
| 首項係數 (a) | 1 | — | 1 - 2 = -1 |
| 二次項係數 (b) | 假設為 p | — | 同樣為 p (相減項無二次項) |
| 對稱中心 x 坐標 | -p / 3 | — | -p / -3 = p / 3 |
| 圖形開口方向 | 右端上升 | — | 右端下降 |
💬當二次項係數相同但首項係數互為相反數時，對稱中心橫坐標互為相反數，和為 0。
