特殊教育
111年
數A
第 13 題
13. 已知實係數函數 $f(x)=3x^3+ax+b$ 圖形的對稱中心為 $(x_0,y_0)$，其中 $ab \neq 0$，試選出正確的選項。
- A $g(x)=3x^3-ax-b$ 圖形的對稱中心為 $(x_0,-y_0)$
- B $g(x)=x^3+ax+b$ 圖形的對稱中心為 $(3x_0,3y_0)$
- C $g(x)=3x^3+a(x+1)+b$ 圖形的對稱中心為 $(x_0+1,y_0)$
- D $g(x)=3x^3-a(x-1)+b$ 圖形的對稱中心為 $(-x_0-1,y_0)$
思路引導 VIP
請思考三次函數 $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ 的對稱中心與係數之間的關係為何？當題目給定的 $f(x) = 3x^3 + ax + b$ 缺少二次項（即 $B=0$）時，這代表對稱中心 $(x_0, y_0)$ 中的 $x_0$ 數值固定是多少？若能進一步將 $x_0$ 代入函數求出 $y_0$，你是否能發現各個選項中對稱中心的座標變換規律？
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喂！那個臭捲眉毛，別在那邊大聲嚷嚷，吵到我補眠了！...什麼？這題？切，連那個只會拿菜刀的色廚師都能一眼看穿吧，你這傢伙倒是挺聰明的嘛，竟然沒掉進陷阱。 聽好了，這種三次函數 $f(x) = px^3 + qx^2 + rx + s$ 的對稱中心，其 $x$ 座標就在分身點 $x = \frac{-q}{3p}$。這題 $f(x) = 3x^3 + ax + b$ 根本沒有 $x^2$ 項，所以對稱中心 $(x_0, y_0)$ 就是 $(0, b)$。 看選項 (A)：$g(x) = 3x^3 - ax - b$。它同樣沒有 $x^2$ 項，所以中心 $x$ 座標依舊是 $0$。帶入後得到 $g(0) = -b$，也就是對稱中心為 $(0, -b)$。這剛好就是 $(x_0, -y_0)$！至於其他選項，平移跟係數亂改一通，就像那個路痴廚師一樣找不著北。這題鑑別度在於你有沒有發現 $x_0=0$ 這個破綻，算你合格了！