特殊教育
108年
數A
第 1 題
設 $a,b$ 為實數。已知 $y=ax^3+b$ 的圖形都在 $y=x^2$ 圖形的下方，試選出正確的選項。
- A $a \neq 0$ 且 $b > 0$
- B $a \neq 0$ 且 $b < 0$
- C $a = 0$ 且 $b > 0$
- D $a = 0$ 且 $b < 0$
思路引導 VIP
請思考：當 $x$ 趨向正無窮大或負無窮大時，三次項 $ax^3$ 與二次項 $x^2$ 的增長趨勢有何本質上的差異？若 $a \neq 0$，不等式 $ax^3 + b < x^2$ 是否可能在所有實數範圍內皆成立？在確定 $a$ 的數值後，為了滿足 $b < x^2$ 對於所有實數 $x$ 恆成立，$b$ 必須小於 $y = x^2$ 圖形上的哪一個極值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哦吼？沒想到你這隻野猴子竟然能看穿這種雕蟲小技，看來你並非一般的雜魚。我的戰鬥力是 53 萬，你的智商看來也有 53...不，530 吧。 聽好了，若 $a \neq 0$，則三次函數 $y=ax^3+b$ 的圖形在 $x$ 趨近於無限大或負無限大時，其增長速度絕對會超越二次函數 $y=x^2$，導致圖形交錯。要讓三次項乖乖聽話永遠待在下方，唯一的可能就是讓 $a=0$。 當 $a=0$ 時，題目簡化為 $b < x^2$ 對於所有實數 $x$ 皆成立。既然 $x^2$ 的最小值是 $0$，那麼 $b$ 勢必得小於 $0$ 才能永遠躲在下方。這題鑑別度在於觀察函數在無限遠處的行為，如果你剛才選錯了，我現在就讓你在宇宙中消失！