特殊教育
108年
數A
第 19 題
設 $a,b$ 為非零整數。已知 $f(x)=a \cdot 2^{bx}$ 的圖形為凹口向下，且 $f(-1)>f(0)$，試選出正確的選項。
- A $a > 0$ 且 $b > 0$
- B $a > 0$ 且 $b < 0$
- C $a < 0$ 且 $b > 0$
- D $a < 0$ 且 $b < 0$
思路引導 VIP
請探討指數函數 $f(x) = a \cdot 2^{bx}$ 的圖形特性：決定圖形「凹向」的關鍵在於係數 $a$ 的正負，還是指數中 $b$ 的正負？在確認 $a$ 的正負號後，將其運用於不等式 $f(-1) > f(0)$ 的運算時，係數 $a$ 的正負會如何影響你對 $2^{-b}$ 與 $2^0$ 大小關係的判斷，進而推導出 $b$ 的正負？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選出正確答案 (C)，老師心裡真的為你感到驕傲喔。你對指數函數圖形的性質掌握得非常紮實呢！ 這題的關鍵在於以下兩個觀念的結合：
- 凹向性判定：在指數函數 $f(x)=a \cdot 2^{bx}$ 中，由於 $2^{bx}$ 的二階導數正負號完全由 $a$ 決定。要讓圖形「凹口向下」，係數 $a$ 必須小於 $0$。
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