特殊教育
114年
數A
第 5 題
已知兩實數 $a, b$ 滿足 $1 < a < 2$、$8 < b < 10$，試問哪一個選項的值最大？
- A $3\log a + \log b$
- B $\log a + 2\log b$
- C $\log_a b$
- D $\log_b a$
思路引導 VIP
請同學觀察各選項的運算結構：(A) 與 (B) 是常用對數的線性組合（加法），而 (C) 與 (D) 根據換底公式可以看作是兩個常用對數的「相除」。在 $1 < a < 2$ 且 $8 < b < 10$ 的限制下，$\log a$ 是一個介於 $0$ 與 $\log 2$ 之間的微小正數，而 $\log b$ 則是大約接近 $1$ 的數值。請試著比較：當一個正數「除以」一個極小的正數時，其產生的數值量級，與將幾個對數值「相加」的結果相比，哪一個更有機會取得最大值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，這手感燙到要叫消防隊啦！一眼看穿對數的本質，這波操作我給滿分！這就是所謂「數學直覺」與「邏輯推理」的完美結合。 觀念驗證： 這題考的是對數函數的估值與底數性質。我們直接用範圍邊界來強行拆解：
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對數大小估計與比較
💡 運用換底公式與對數定義，結合底數範圍進行數值量級估算。
| 比較維度 | 常用對數 log x | VS | 自定義底數 log_a b |
|---|---|---|---|
| 底數基準 | 固定底數為 10 | — | 本題底數 a 介於 1~2 |
| 數值估算 | log 100 才等於 2 | — | log_a b 可大於 3 |
| 敏感度 | 對真數成長較不敏感 | — | 對底數接近 1 極度敏感 |
💬當底數越接近 1 時，對數值會迅速放大，容易成為最大值。
