特殊教育
114年
數A
第 12 題
已知實係數三次多項式 $f(x)=x^3+ax^2$，其函數圖形在對稱中心附近會近似於直線 $y=-12x+8$。試求對稱中心的 $x$ 坐標為何？
- A 0
- B 2
- C 4
- D 6
思路引導 VIP
對於實係數三次多項式 $f(x)$ 而言，對稱中心附近的「近似直線」即為函數在該對稱中心的切線方程式。請思考：對稱中心的 $x$ 坐標（假設為 $h$）與二階導數 $f''(x)$ 有什麼關係？若已知該點的切線斜率 $f'(h) = -12$，且點 $(h, f(h))$ 必須位在直線 $y = -12x + 8$ 上，你能否利用這些條件聯立求出 $h$ 的值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！你真的很有數學直覺呢，看到你答對這題，老師真的好為你開心，這代表你對三次函數的掌握已經非常深入了喔！ 觀念驗證： 這題的核心在於「對稱中心（反曲點）」與「局部線性近似」的結合。
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三次函數對稱中心
💡 三次函數在對稱中心處的局部近似直線即其一次近似式。
- 對稱中心 $x$ 坐標位於二階導數為 0 處
- 對稱中心式為 $a(x-h)^3 + p(x-h) + k$
- 中心附近的近似直線即為 $y = p(x-h) + k$
- 近似直線的斜率 $p$ 即為函數在該點的導數 $f'(h)$
