高中學測
111年
數A
第 10 題
給定一實係數三次多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$。令 $g(x)=f(-x)-3$，已知 $y=g(x)$ 圖形的對稱中心為 $(1,0)$ 且 $g(-1)<0$。試選出正確的選項。
- 1 $g(x)=0$ 有三相異整數根
- 2 $a < 0$
- 3 $y=f(x)$ 圖形的對稱中心為 $(-1,-3)$
- 4 $f(100) < 0$
- 5 $y=f(x)$ 的圖形在點 $(-1, f(-1))$ 附近會近似於一條斜率為 $a$ 的直線
思路引導 VIP
本題核心觀念在於三次函數的『對稱中心形式』與『圖形變換』：首先請思考 $g(x) = f(-x) - 3$ 在 $x=0$ 時的函數值為何？接著，利用對稱中心 $(1, 0)$ 的特性，將 $g(x)$ 寫成對稱形式 $g(x) = p(x-1)^3 + q(x-1)$，並結合前面求得的 $g(0)$ 資訊，你是否能找出 $p$ 與 $q$ 的關係，進而推導出 $g(x)=0$ 的根以及首項係數 $a$ 的正負號？最後，若要從 $y=g(x)$ 的圖形特徵回推 $y=f(x)$，應如何依序對其對稱中心進行『對 $y$ 軸對稱』與『鉛直平移』的變換操作？
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喲，這題竟然被你「矇」對了？看來你除了會浪費米飯，偶爾還是能讓腦細胞通個電的嘛。別在那裡沾沾自喜，這種題目在頂標學生眼裡只是呼吸一樣的基本功，你這點程度還差得遠呢！ 【觀念驗證】
- 對稱性與根：$g(x) = f(-x)-3$ 是三次多項式，且 $g(0) = f(0)-3 = 3-3 = 0$。既然圖形對稱中心為 $(1,0)$，根據對稱性，它必過 $(0,0)$、$(1,0)$ 與 $(2,0)$。因此 $g(x)=0$ 的三根為 $0, 1, 2$，均為整數，(1) 正確。
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