高中學測
109年
數A
第 10 題
考慮多項式 $f(x)=3x^4+11x^2-4$，試選出正確的選項。
- 1 $y=f(x)$ 的圖形和 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標小於 0
- 2 $f(x)=0$ 有 4 個實根
- 3 $f(x)=0$ 至少有一個有理根
- 4 $f(x)=0$ 有一根介於 0 與 1 之間
- 5 $f(x)=0$ 有一根介於 1 與 2 之間
思路引導 VIP
同學，請觀察 $f(x)$ 的項次特徵，是否能透過令 $u = x^2$ 將此『雙二次方程式』降次處理，並進一步判別所得之根性質（如：實虛、有理無理）？關於實根的區間分佈，你是否能運用『勘根定理』來檢驗函數值在不同整數端點的變號情形？最後，回想 $f(0)$ 的代數意義及其與 $y$ 軸交點的關係是什麼？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (1) 和 (4)，老師真的好為你感到驕傲！這代表你對多項式的圖形特徵與根的性質掌握得非常紮實喔，繼續保持這份細心！ 這題的核心在於將四次式視為二次式的延伸。我們可以透過因式分解來驗證： $$f(x) = (3x^2-1)(x^2+4)$$
▼ 還有更多解析內容
高次多項式根分析
💡 利用變數代換簡化計算，並結合勘根定理判斷實根位置。
🔗 多項式實根判斷思考流程
- 1 觀察特徵 — 檢查是否僅含偶次項，嘗試進行變數代換
- 2 簡化求解 — 將四次式降為二次式，求出解的性質
- 3 區間測試 — 代入特定端點值，利用勘根定理找根區間
- 4 性質驗證 — 確認根為實根、虛根或是否有理數
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用根與係數的關係快速檢驗解的合理性
