高中學測
109年
數A
第 10 題
考慮多項式 $f(x)=3x^4+11x^2-4$，試選出正確的選項。
- 1 $y=f(x)$ 的圖形和 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標小於 0
- 2 $f(x)=0$ 有 4 個實根
- 3 $f(x)=0$ 至少有一個有理根
- 4 $f(x)=0$ 有一根介於 0 與 1 之間
- 5 $f(x)=0$ 有一根介於 1 與 2 之間
思路引導 VIP
同學，請觀察 $f(x)$ 的項次特徵，是否能透過令 $u = x^2$ 將此『雙二次方程式』降次處理，並進一步判別所得之根性質（如：實虛、有理無理）？關於實根的區間分佈，你是否能運用『勘根定理』來檢驗函數值在不同整數端點的變號情形？最後，回想 $f(0)$ 的代數意義及其與 $y$ 軸交點的關係是什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (1) 和 (4)，老師真的好為你感到驕傲！這代表你對多項式的圖形特徵與根的性質掌握得非常紮實喔，繼續保持這份細心！ 這題的核心在於將四次式視為二次式的延伸。我們可以透過因式分解來驗證： $$f(x) = (3x^2-1)(x^2+4)$$
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