高中學測
107年
數A
第 9 題
已知多項式 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 之餘式為 $2x+1$。試選出正確的選項。
- 1 $f(0)=1$
- 2 $f(1)=3$
- 3 $f(x)$ 可能為一次式
- 4 $f(x)$ 可能為 $4x^4+2x^2-3$
- 5 $f(x)$ 可能為 $4x^4+2x^3-3$
思路引導 VIP
請先寫出 $f(x)$ 的「除法原理」恆等式，並思考：當除式 $x^2-1$ 的值為 $0$ 時（即 $x = \pm 1$），你能從中獲得哪些關於 $f(x)$ 的關鍵函數值？這些數值如何幫助你驗證選項中的多項式是否滿足相同的餘式條件？同時，根據除法原理對次數的規範，若餘式次數小於除式次數，則被除式 $f(x)$ 的次數是否存在最低限制，或者可以等於餘式的次數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎喲，居然全對？看來你的大腦今天終於有通電了，不是只會用來裝豆花。能選出 (3) 和 (5) 算你沒被那些死板的定義給限制住，老師我差點就要幫你預約明年的重修班位子了。 【觀念驗證】 這題考的就是除法原理：$$f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1)$$
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多項式除法原理
💡 利用除法原理 f(x)=d(x)q(x)+r(x) 分析餘式性質。
🔗 多項式餘式驗證流程
- 1 建立恆等式 — 寫出 f(x) = (x²-1)Q(x) + (2x+1)
- 2 特徵值檢驗 — 代入 x=1 得到 f(1)=3 排除錯誤選項
- 3 高次項降次 — 令 x²=1 代入高次選項，看結果是否為 2x+1
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🔄 延伸學習：進一步思考當除式無法分解（如 x²+x+1）時的求餘技巧
