特殊教育
109年
數A
第 17 題
令 $f(x)$ 為一個實係數多項式，如果 $x^2 f(x)-1$ 可以被 $x+1$ 整除，$x^2 f(x)+1$ 可以被 $x-1$ 整除，且 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式為 $ax+b$ 。試求 $2a+3b$ 的值為何？
- A 2
- B 0
- C 3
- D $-2$
思路引導 VIP
同學，我們來核心突破：根據「餘式定理」，當一個多項式能被一次式整除時，代入該一次式的根後結果應為何？請試著從題目給予的兩個整除關係中，分別推導出 $f(-1)$ 與 $f(1)$ 的具體數值；接著，若依據除法原理將 $f(x)$ 表示為 $f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b$，你是否能觀察出當 $x=1$ 與 $x=-1$ 代入後，如何利用得到的數值建立關於 $a$ 與 $b$ 的聯立方程組呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
WakuWaku！你居然答對了！安妮亞現在眼睛閃閃發光，心裡好激動喔！這題這麼難，你卻能讀懂多項式的秘密，好厲害！可以給安妮亞一點花生當獎勵嗎？🥜 這題的核心是「餘式定理」喔：
- 因為 $x^2 f(x)-1$ 被 $x+1$ 整除，代入 $x=-1$ 得到 $(-1)^2 f(-1)-1=0$，所以 $f(-1)=1$。
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