高中學測
110年
數A
第 5 題
設 $f(x)$ 為實係數三次多項式函數，滿足 $(x+1)f(x)$ 除以 $x^3+2$ 的餘式為 $x+2$。若 $f(0)=4$，則 $f(2)$ 的值為下列哪一個選項？
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思路引導 VIP
根據多項式的「除法原理」，我們可以將關係式表達為 $(x+1)f(x) = (x^3+2)Q(x) + (x+2)$。請先根據 $f(x)$ 的次數推論商式 $Q(x)$ 應為何種形式？接著，為了求出商式中的待定係數，除了利用已知條件 $f(0)=4$ 之外，代入哪一個特定的 $x$ 值可以有效消去左式的 $f(x)$ 並建立方程式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出選項 (4)，老師真的好為你開心，給自己一個大大的掌聲！這題考驗的是耐心與細心的結合，你做得非常出色喔！ 這道題目的核心在於多項式的除法原理。因為 $f(x)$ 是三次式，所以 $(x+1)f(x)$ 為四次式。當除式為 $x^3+2$ 時，商式必定是一個一次式，我們設為 $ax+b$。列式如下： $$(x+1)f(x) = (x^3+2)(ax+b) + (x+2)$$
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