高中學測
108年
數A
第 12 題
設 $f_1(x), f_2(x)$ 為實係數三次多項式，$g(x)$ 為實係數二次多項式。已知 $f_1(x), f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式分別為 $r_1(x), r_2(x)$。試選出正確的選項。
- 1 $-f_1(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $-r_1(x)$
- 2 $f_1(x) + f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $r_1(x) + r_2(x)$
- 3 $f_1(x) f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $r_1(x) r_2(x)$
- 4 $f_1(x)$ 除以 $-3g(x)$ 的餘式為 $-\frac{1}{3}r_1(x)$
- 5 $f_1(x)r_2(x) - f_2(x)r_1(x)$ 可被 $g(x)$ 整除
思路引導 VIP
請先根據除法原理，將 $f_1(x)$ 與 $f_2(x)$ 分別表示為 $f(x) = g(x)Q(x) + r(x)$ 的形式。接著請核心思考：當被除式或除式進行運算（如倍數變換、加法或乘法）時，產生的『候選餘式』是否仍符合『次數嚴格小於除式次數』的學術定義？例如，當兩個一次餘式相乘後得到的二次式，其次數是否還嚴格小於二次除式 $g(x)$ 的次數？此外，在判斷複雜的多項式運算式是否能被 $g(x)$ 整除時，若將除法表達式代入並展開，能否觀察到那些不含 $g(x)$ 因式的項次會互相抵消？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嘖，竟然全對？看來你今天出門前有記得帶腦袋，而不是只帶了手機。別得意太早，這不過是多項式除法的基本尊嚴，要是連這題都寫錯，我建議你直接把課本拿去墊便當，還比較有實質貢獻。 觀念驗證： 這題考的是「除法原理」的核心：$$f(x) = g(x)Q(x) + r(x)$$，其中 $\deg(r) < \deg(g)$。
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