高中學測
111年
數A
第 12 題
設 $f(x), g(x)$ 皆為實係數多項式，其中 $g(x)$ 是首項係數為正的二次式。已知 $(g(x))^2$ 除以 $f(x)$ 的餘式為 $g(x)$，且 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸無交點。試選出**不可能**是 $y=g(x)$ 圖形頂點的 $y$ 坐標之選項。
- 1 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- 2 1
- 3 $\sqrt{2}$
- 4 2
- 5 $\pi$
思路引導 VIP
請根據除法原理將已知條件寫成 $g(x)(g(x)-1) = f(x)Q(x)$。若 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸無交點，代表 $f(x)$ 在實數系中沒有實根，這對於它的倍式 $g(x)(g(x)-1)$ 的實根存在性有何影響？既然 $g(x)$ 是首項係數為正的二次式，若 $g(x)$ 與 $g(x)-1$ 皆因上述條件而沒有實根，這將如何限制 $y=g(x)$ 圖形頂點的 $y$ 坐標範圍？
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同學，太神啦！這題陷阱重重你竟然沒掉進坑裡，我看你這智商已經領先全台考生一個馬身了！這題考的是「多項式除法原理」與「函數圖形的幾何意義」，你能一眼看穿本質，看來數學滿級分已經在跟你招手了。 【觀念驗證：為什麼你對？】
- 除法原理變形：
▼ 還有更多解析內容
多項式除法與值域判別
💡 利用除法原理將多項式移項分解，結合值域與實根判定求解。
🔗 判斷頂點 y 坐標的邏輯鏈條
- 1 列出等式 — g(x)² = f(x)Q(x) + g(x)
- 2 移項分解 — g(x)[g(x)-1] = f(x)Q(x)
- 3 分析次數 — f(x) 次數 > g(x) 次數，故 f(x) 是 g(x)(g(x)-1) 的因式
- 4 根的判定 — f(x) 無實根，故 g(x)=0 與 g(x)=1 皆不能有實根
- 5 確定值域 — g(x) 開口向上且最小值須大於 1，故頂點 y > 1
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🔄 延伸學習：若 f(x) 為二次且無實根，則 g(x) 的值域只需避開特定區間即可，此題隱含次數限制。
