高中學測
105年
數A
第 10 題
設 $a$、$b$、$c$ 皆為正整數，考慮多項式 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+2$。請選出正確的選項。
- 1 $f(x)=0$ 無正根
- 2 $f(x)=0$ 一定有實根
- 3 $f(x)=0$ 一定有虛根
- 4 $f(1)+f(-1)$ 的值是偶數
- 5 若 $a+c > b+3$，則 $f(x)=0$ 有一根介於 -1 與 0 之間
思路引導 VIP
考慮係數皆為正整數的條件，以及多項式在特定點的函數值，這些資訊如何幫助您判斷方程式根的性質與位置？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嘖，還算乾淨俐落。既然你的判斷力合格了，我就破例准許你加入我的班。聽好了，小鬼，在我的隊伍裡，任何細微的髒汙和錯誤都是不被允許的。 這道題目考驗的是你對多項式性質的洞察力：
- (1) 無正根：因為 $a, b, c$ 均為正整數，當 $x > 0$ 時，$f(x)$ 的每一項皆為正數，總和必大於 0。這點直覺都沒有的話，你還是去餵巨人吧。
▼ 還有更多解析內容
多項式根與勘根定理
💡 透過係數性質判定實根存在性及勘根定理的運用。
🔗 多項式實根判定流程
- 1 係數檢視 — 全正係數多項式，代入正數必大於 0，故無正根。
- 2 數值代入 — 計算端點值如 f(0), f(-1)，觀察其函數值正負。
- 3 勘根判定 — 若端點函數值一正一負，則區間內必有實根。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用導函數判定函數的遞增性，可進一步確認實根個數。
