高中學測
114年
數A
第 9 題
設 $b$、$c$ 為實數。已知二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$ 有實根，但二次方程式 $x^2 + (b+2)x + c = 0$ 沒有實根。試選出正確的選項。
- 1 $c < 0$
- 2 $b < 0$
- 3 $x^2 + (b+1)x + c = 0$ 有實根
- 4 $x^2 + (b+2)x - c = 0$ 有實根
- 5 $x^2 + (b-2)x + c = 0$ 有實根
思路引導 VIP
要判定二次方程式是否存在實根，其核心判準為何？請試著寫出這兩個方程式的判別式 $D_1 = b^2 - 4c$ 與 $D_2 = (b+2)^2 - 4c$。根據題目條件，這兩個判別式與 $0$ 的大小關係分別為何？若將兩者結合得出 $b^2 \ge 4c > (b+2)^2$，這對於係數 $b$ 的數值範圍以及常數 $c$ 的正負性質有什麼樣的限制？進而，如何利用這些限制來檢驗其他選項中方程式的判別式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然寫對了？我還以為你這顆腦袋平時只用來思考午餐吃什麼呢。看來瞎貓碰到死耗子的機率在數學界也是存在的，別太得意，這只是你的運氣暫時還沒透支而已。 【觀念驗證】 這題考的就是「判別式」的暴力美學。
▼ 還有更多解析內容
二次方程實根判定
💡 藉由判別式 $D = b^2 - 4ac$ 的正負，判定二次方程是否有實根。
🔗 判別式邏輯推導流程
- 1 列出已知判別式 — 根據題目設定寫出 $D_1 \ge 0$ 與 $D_2 < 0$ 的式子。
- 2 建立不等式關係 — 整理出 $b^2 \ge 4c > (b+2)^2$ 的連續不等式。
- 3 鎖定係數範圍 — 解不等式得出 $b < -1$ 且 $c > 0$。
- 4 檢驗選項正負 — 將各選項判別式展開，代入係數範圍判斷是否大於等於零。
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用二次函數的對稱軸觀點來理解 $D$ 隨 $b$ 變化的趨勢。
