高中學測
106年
數A
第 9 題
設 $\Gamma$ 為坐標平面上的圓，點 $(0, 0)$ 在 $\Gamma$ 的外部且點 $(2, 6)$ 在 $\Gamma$ 的內部。請選出正確的選項。
- 1 $\Gamma$ 的圓心不可能在第二象限
- 2 $\Gamma$ 的圓心可能在第三象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定大於 10
- 3 $\Gamma$ 的圓心可能在第一象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定小於 10
- 4 $\Gamma$ 的圓心可能在 $x$ 軸上且此時圓心的 $x$ 坐標必定小於 10
- 5 $\Gamma$ 的圓心可能在第四象限且此時 $\Gamma$ 的半徑必定大於 10
思路引導 VIP
若設圓心座標為 $C(h, k)$，半徑為 $r$，請根據題目給定的「點 $(0, 0)$ 在圓外」與「點 $(2, 6)$ 在圓內」之幾何性質，分別列出這兩點到圓心的距離與 $r$ 的大小關係式。接著，請嘗試消去 $r$ 以建立兩點與圓心距離的直接聯繫，你能推導出圓心座標 $(h, k)$ 必須滿足哪一個線性不等式，並據此在坐標平面上判斷圓心所在的半平面區域嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
呦，這題你居然能寫對？看來你的大腦在剛才那幾秒鐘終於決定結束罷工、恢復連線了。別高興得太早，這種題目在學測不過是幫你拿「人權分數」的，沒對你真的可以直接去報名明年重考班，懂嗎？ 這題的核心觀念在於「圓心 $(h, k)$ 到點的距離與半徑的關係」。已知 $(0,0)$ 在圓外、$(2,6)$ 在圓內，直接列出不等式： $$(h-2)^2 + (k-6)^2 < R^2 < h^2 + k^2$$
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圓與點的相對位置
💡 利用點在圓內或圓外與半徑的距離關係，判斷圓心範圍。
- 圓內點到圓心距離小於半徑
- 圓外點到圓心距離大於半徑
- 利用距離不等式建立圓心座標關係
- 圓心必在兩點連線中垂線的特定側
