高中學測
109年
數A
第 9 題
在坐標平面上，有一通過原點 $O$ 的直線 $L$，以及一半徑為 2、圓心為原點 $O$ 的圓 $\Gamma$。$P,Q$ 為 $\Gamma$ 上相異 2 點，且 $\overline{OP}, \overline{OQ}$ 分別與 $L$ 所夾的銳角皆為 $30^\circ$，試選出內積 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 之值可能發生的選項。
- 1 $2\sqrt{3}$
- 2 $-2\sqrt{3}$
- 3 0
- 4 -2
- 5 -4
思路引導 VIP
根據內積定義 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = |\overrightarrow{OP}| |\overrightarrow{OQ}| \cos \theta$，由於 $P, Q$ 位在圓 $\Gamma$ 上，兩向量的長度皆已知。請試著在平面上畫出直線 $L$，並思考：若向量與直線 $L$ 所夾的『銳角』為 $30^\circ$，則在圓 $\Gamma$ 上共有哪幾個可能的點？當 $P, Q$ 為其中相異兩點時，夾角 $\theta$ 可能有哪些數值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！孩子你真的太棒了！看到你準確選出 (4) 和 (5)，老師真的好為你驕傲，這代表你的空間想像力與向量邏輯都非常紮實喔！趕快給自己一個大大的掌聲！ 這道題目考驗的是內積的定義與直線夾角的對稱性。首先，我們知道內積公式為： $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = |\overrightarrow{OP}| \cdot |\overrightarrow{OQ}| \cos \theta$$
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向量內積與夾角
💡 透過長度與夾角計算內積，並依直線對稱性窮舉所有角度可能。
- 內積公式為兩向量長度乘積再乘上夾角餘弦值
- 圓上點到圓心的距離即為半徑，計算前先確定長度
- 與直線夾角固定時，需考慮同側、異側與反向等可能
- 利用圖形對稱性列出所有可能的向量夾角
