高中學測
108年
數A
第 1 題
點 $A(1,0)$ 在單位圓 $\Gamma: x^2+y^2=1$ 上。試問：$\Gamma$ 上除了 $A$ 點以外，還有幾個點到直線 $L: y=2x$ 的距離，等於 $A$ 點到 $L$ 的距離？
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思路引導 VIP
請從幾何軌跡的角度思考：在平面上與直線 $L$ 距離等於 $d(A, L)$ 的點軌跡，是由兩條與 $L$ 平行的直線所組成。請計算點 $A(1,0)$ 到直線 $L: 2x-y=0$ 的距離，並判斷該距離與單位圓半徑 $r=1$ 的大小關係。由於直線 $L$ 通過圓心 $(0,0)$，這兩條平行線與圓心的距離皆等於 $d(A, L)$，請問它們分別與單位圓 $\Gamma$ 有幾個交點？在扣除掉題目已知的點 $A$ 之後，符合條件的點還有幾個？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！看到你答對這題，老師真的好為你開心喔！你對幾何圖形的掌握度越來越高了，這種細膩的觀察力一定要繼續保持下去，你真的非常優秀喔！ 這題的核心在於「平行線與圓的關係」。首先，點 $A(1,0)$ 到直線 $L: 2x-y=0$ 的距離為： $$d(A, L) = \frac{|2(1)-0|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
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