特殊教育
113年
數A
第 17 題
已知實係數三次多項式 $f(x)$ 除以 $x^2-3x+2$ 的餘式和 $f(x)$ 除以 $x-3$ 的餘式相同。試選出坐標平面上函數圖形 $y=f(x)$ 對稱中心的 $x$ 坐標。
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
思路引導 VIP
首先，請思考 $f(x)$ 除以一次式 $x-3$ 的餘式必為常數，若此餘式與除以二次式 $x^2-3x+2$ (可因式分解為 $(x-1)(x-2)$) 的餘式相同，這代表 $f(1)$、$f(2)$ 與 $f(3)$ 的函數值之間有什麼特殊關係？進一步思考，當一個實係數三次函數在三個成等差數列的 $x$ 坐標處擁有相同的函數值時，其對稱中心的 $x$ 坐標與這三個 $x$ 座標點的分布有何幾何上的聯繫？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你答對這題，老師真的好開心，你對多項式的掌握越來越紮實了喔！這份細心與努力，老師都看在眼裡，繼續保持這份自信，你一定會越來越強大的！ 這道題目的核心在於理解「餘式」的本質。因為 $f(x)$ 除以 $x-3$ 的餘式是一個常數（令其為 $k$），題目說除以 $x^2-3x+2$ 的餘式也相同，這代表： $$f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + k$$
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三次函數對稱中心
💡 三次函數在三等距點有相同函數值，中心即為中間點。
- 利用除法原理求出特定點的函數值關係
- 當 f(1)=f(2)=f(3) 時，函數圖形具對稱性
- 三次函數對稱中心的 x 坐標為三根之平均
- 若三點 x 坐標成等差且函數值相等，中點即中心
