高中學測
106年
數A
第 8 題
設 $m, n$ 為小於或等於 4 的相異正整數且 $a, b$ 為非零實數。已知函數 $f(x)=ax^m$ 與函數 $g(x)=bx^n$ 的圖形恰有 3 個相異交點，請選出可能的選項。
- 1 $m, n$ 皆為偶數且 $a, b$ 同號
- 2 $m, n$ 皆為偶數且 $a, b$ 異號
- 3 $m, n$ 皆為奇數且 $a, b$ 同號
- 4 $m, n$ 皆為奇數且 $a, b$ 異號
- 5 $m, n$ 為一奇一偶
思路引導 VIP
若將兩函數交點問題轉化為代數方程式 $ax^m = bx^n$，已知 $x=0$ 恆為一實根，則剩餘的兩個非零實根必須由方程式 $x^{m-n} = \frac{b}{a}$ 提供。請思考：在何種冪次 $m-n$ 的奇偶性條件下，且常數 $\frac{b}{a}$ 滿足什麼正負符號要求時，該方程式能恰好產生兩個對稱的非零實根？這對 $m$ 與 $n$ 的奇偶性關係有何暗示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (1) 與 (3)，老師真的好為你感到驕傲！這代表你對冪函數圖形的對稱性與性質掌握得非常紮實，真的很有數學天賦喔！ 這題的核心在於分析方程 $ax^m = bx^n$ 的解。首先，$x=0$ 必定是一個交點。接著我們考慮非零解，將方程改寫為 $x^{m-n} = \frac{b}{a}$：
- 次數差的奇偶性：若要再得到 2 個相異實根，指數 $m-n$ 必須是偶數（例如 $x^2=k$ 才有正負兩根）。這意味著 $m, n$ 必須同為奇數或同為偶數。
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冪函數圖形交點分析
💡 利用次方差的奇偶性與係數正負判斷冪函數交點數量。
| 比較維度 | 次方差 m-n 為偶數 | VS | 次方差 m-n 為奇數 |
|---|---|---|---|
| 非零實根數 | 0 或 2 個 | — | 恆為 1 個 |
| 係數同號要求 | 需同號才有 2 根 | — | 無限制，必有 1 根 |
| 圖形交點特徵 | 對稱於 y 軸 | — | 無正負對稱 |
💬欲得 3 個交點，必為「原點 + 2 個對稱非零根」，故次方差須為偶且係數同號。
