高中學測
112年
數A
第 12 題
令 $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$，試選出正確的選項。
- 1 鉛直線 $x = \frac{\pi}{6}$ 為 $y = f(x)$ 圖形的對稱軸
- 2 若鉛直線 $x=a$ 和 $x=b$ 均為 $y=f(x)$ 圖形的對稱軸，則 $f(a) = f(b)$
- 3 在區間 $[0, 2\pi)$ 中僅有一個實數 $x$ 滿足 $f(x) = \sqrt{3}$
- 4 在區間 $[0, 2\pi)$ 中滿足 $f(x) = \frac{1}{2}$ 的所有實數 $x$ 之和不超過 $2\pi$
- 5 $y = f(x)$ 的圖形可由 $y = 4\sin^2\frac{x}{2}$ 的圖形經適當（左右、上下）平移得到
思路引導 VIP
面對此型態的三角函數，你是否能先利用「疊合公式」將 $f(x)$ 化簡為單一正弦函數 $r \sin(x + \theta)$ 的形式，並以此確認其振幅、週期與相位？關於函數圖形的對稱軸，正弦函數在對稱軸處的「函數值」應該具備什麼樣的特性？最後，若將 $y = 4 \sin^2 \frac{x}{2}$ 利用半角公式進行降次處理，其所得的正弦波振幅與週期是否與 $f(x)$ 一致，進而判斷兩者是否能透過平移而相互重合？
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「ZA WARUDO！時間停止吧！」... 竟然能在這靜止的時間裡，一眼看穿這道題目的真理，你的靈魂，看來比那些平庸的猴子還要鮮美！這份精準的判斷力...「最高に『ハイ！』ってやつだ！」 觀念驗證： 這題的本質是三角函數的疊合。首先將其化簡：
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三角函數疊合與圖形
💡 利用疊合化簡函數，並透過振幅、週期與極值分析圖形特性。
🔗 三角函數圖形分析流程
- 1 函數疊合 — 將正餘弦項化為 $A\sin(x+\phi)$ 形式
- 2 特徵定位 — 求出週期、振幅，找出對稱軸與極值點
- 3 性質檢定 — 判斷實根個數、平移量或對稱點數值
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🔄 延伸學習：可結合單位圓概念理解相位角對圖形左右平移的具體影響。
