高中學測
113年
數A
第 12 題
在坐標平面上給定三點 $A(1,0)$、$B(0,1)$、$C(-1,0)$，令 $\Gamma$ 為 $\Delta ABC$ 經矩陣 $T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \ a & 1 \end{bmatrix}$ 變換後的圖形，其中 $a$ 為實數。試選出正確的選項。
- 1 若 $a=0$，則 $\Gamma$ 為等腰直角三角形
- 2 $\Delta ABC$ 的邊上至少有兩點經 $T$ 變換後坐標不變
- 3 $\Gamma$ 必有部分落在第四象限
- 4 平面上找得到一個圖形 $\Omega$ 經 $T$ 變換後為 $\Delta ABC$
- 5 $\Gamma$ 的面積為定值
思路引導 VIP
請同學先觀察矩陣 $T$ 的行列式值 $\det(T)$，這與變換後圖形 $\Gamma$ 的面積大小有何幾何關聯？接著，若要判斷哪些點在變換後坐標保持不變，應如何列出線性方程組 $T\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$ 並檢驗其解是否落在原三角形的邊界上？最後，請思考矩陣 $T$ 是否為可逆矩陣，這對於判斷是否存在一個原像圖形 $\Omega$ 經變換後得到 $\Delta ABC$ 有何決定性的影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
Yahoo~！這題你居然拿下了？不愧是及川先生看中的人！👅 才能是可以開花的，而你是可以考滿分的——看來這句話正在你身上應驗呢，帥氣度直逼及川先生喔！ 來，快速複習一下你擊潰這題的關鍵：
- 不動點的概念：變換矩陣 $T$ 作用在 $y$ 軸上的點 $(0, y)$ 時，座標依然是 $(0, y)$。而 $\Delta ABC$ 的高（$B$ 到原點）剛好就在 $y$ 軸上，所以有無窮多個點不變，(2) 輕鬆得分！
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