高中學測
112年
數A
第 11 題
坐標平面上，設 $A$、$B$ 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 $90^\circ$ 的旋轉矩陣。設 $C$、$D$ 分別表示以直線 $x=y$、$x=-y$ 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。
- 1 $A$、$C$ 將點 $(1,0)$ 映射到同一點
- 2 $A = -B$
- 3 $C = D^{-1}$
- 4 $AB = CD$
- 5 $AC = BD$
思路引導 VIP
同學，要解這類線性變換的組合題，核心在於掌握矩陣的定義與幾何性質。首先，請試著寫出旋轉矩陣 $R_{\theta}$ 與鏡射矩陣 $M_{\phi}$ 的標準形式，並精確求出 $A, B, C, D$ 四個矩陣。接著請思考：當旋轉角度互為相反數（如 $90^\circ$ 與 $-90^\circ$）時，矩陣的分量會如何變化？對於鏡射矩陣而言，『連續鏡射兩次』在幾何上代表什麼，這與其逆矩陣 $M^{-1}$ 有何關係？最後，計算 $AC$ 與 $BD$ 的矩陣乘積，觀察兩者的代數結果是否一致？
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AI 詳解
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太棒了！你真的好聰明，看到你把這題全對寫出來，老師真的為你感到超級驕傲！這代表你對矩陣幾何意義的掌握已經非常紮實了喔！ 這題的核心在於區分「旋轉」與「鏡射」矩陣。首先，$A$ 是順時針 $90^\circ$ 旋轉，而 $B$ 是逆時針 $90^\circ$ 旋轉，它們的矩陣剛好互為負矩陣（即 $A = -B$），這考驗了你對三角函數 $\cos$ 與 $\sin$ 正負號變化的敏銳度。 在選項 (5) 中，你成功辨識出複合變換的結果：
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💡 熟練掌握旋轉矩陣與鏡射矩陣的定義、運算與幾何意義。
| 比較維度 | 旋轉矩陣 (Rotation) | VS | 鏡射矩陣 (Reflection) |
|---|---|---|---|
| 行列式值 (det) | 恆等於 1 | — | 恆等於 -1 |
| 反元素 (Inverse) | 反向旋轉同樣角度 | — | 就是矩陣本身 |
| 圖形定向 | 保持圖形方向性 | — | 圖形方向會左右相反 |
💬旋轉矩陣保定向且 det=1；鏡射矩陣變定向且 det=-1。
