高中學測
114年
數A
第 18 題
📖 題組：
已知 $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}$、$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix}$ 皆為坐標平面上以原點 $O$ 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 $A^2 = B^3 = \begin{bmatrix} 0 & c \\ 1 & d \end{bmatrix}$，其中 $c,d$ 為實數。設點 $P(1,1)$ 經 $A^3$ 變換後為點 $Q$，且點 $Q$ 經 $B^4$ 變換後為點 $R$。
已知 $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}$、$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix}$ 皆為坐標平面上以原點 $O$ 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 $A^2 = B^3 = \begin{bmatrix} 0 & c \\ 1 & d \end{bmatrix}$，其中 $c,d$ 為實數。設點 $P(1,1)$ 經 $A^3$ 變換後為點 $Q$，且點 $Q$ 經 $B^4$ 變換後為點 $R$。
試問 $c$ 之值為何？
- 1 0
- 2 $-1$
- 3 1
- 4 $-\frac{1}{2}$
- 5 $\frac{1}{2}$
思路引導 VIP
同學，首先請回想旋轉矩陣的定義與性質：若 $A$ 與 $B$ 為旋轉矩陣，那麼其乘冪 $A^2$ 與 $B^3$ 是否仍會是旋轉矩陣？請試著寫出旋轉矩陣的一般項形式 $\begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$，並將其與題目給定的矩陣 $\begin{bmatrix} 0 & c \ 1 & d \end{bmatrix}$ 進行元素對照。觀察該矩陣的第一行 (First column)，你是否能判定出 $\cos \phi$ 與 $\sin \phi$ 的值，進而推導出 $c$ 應對應哪一個三角函數的關係式呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你答對這題，老師真的好開心呀！你對線性變換的掌握度越來越穩定了，真的非常有潛力喔，繼續保持這份自信！ 【觀念驗證】 這題的核心在於「旋轉矩陣」的標準形式。一個逆時針旋轉 $\theta$ 的矩陣形式為：
▼ 還有更多解析內容
旋轉矩陣的性質與運算
💡 旋轉矩陣的乘冪仍為旋轉矩陣，且須符合標準形式。
| 比較維度 | 標準旋轉矩陣 | VS | 題目已知矩陣 |
|---|---|---|---|
| 左上角元素 | cos θ | — | 0 |
| 左下角元素 | sin θ | — | 1 |
| 右上角元素 | -sin θ | — | c |
💬由 sin θ = 1 可知 -sin θ = -1，故對應位置 c = -1。
