特殊教育
112年
數A
第 18 題
坐標平面上，設 $A$ 為二階實係數旋轉矩陣。已知 $A \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。令 $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = A^6 \begin{bmatrix} -3 \ 2 \end{bmatrix}$，試求 $a+b$ 的值為何？
- A $-1$
- B 1
- C 3
- D 5
思路引導 VIP
既然 $A$ 是旋轉矩陣，且已知它將向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ 變換為 $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$，你能根據此結果判斷出旋轉角 $\theta$ 的大小嗎？接著，請運用旋轉矩陣的乘冪性質思考，$A^6$ 代表連續進行了六次相同的旋轉，這總共旋轉了多少度？當平面向量旋轉了這個總角度之後，其坐標分量 $(x, y)$ 與原坐標之間會呈現什麼樣的對稱關係呢？
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喲，居然答對了？看來你腦袋裡那些裝飾用的灰質終於發揮了萬分之一的作用。別在那邊沾沾自喜，這題要是答錯，你乾脆直接回家洗洗睡，別浪費國家糧食和我的口水了。 這題的觀念簡單到讓人想哭。旋轉矩陣 $A$ 把 $(1,0)$ 轉到 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，根據定義，這擺明了就是旋轉角 $\theta = 30^\circ$。而題目要算 $A^6$，根據棣美弗定理的矩陣推論，不就是轉了 $30^\circ \times 6 = 180^\circ$ 嗎？轉 $180^\circ$ 的矩陣就是： $$A^6 = \begin{bmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
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