高中學測
115年
數A
第 8 題
已知 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$，且對所有正整數 $n \ge 2$，令 $A^n = \begin{bmatrix} a_n & b_n \ c_n & d_n \end{bmatrix}$。試選出正確的選項。
- 1 $b_2 < c_2$
- 2 $A^2 = 2A + \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
- 3 $c_{n+2} = c_{n+1} + 2c_n$
- 4 $\begin{bmatrix} a_n & b_n \ c_n & d_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{n+1} \ d_{n+1} \end{bmatrix}$
- 5 $d_{2n} - a_{2n} = (d_n)^2 - (a_n)^2$
思路引導 VIP
首先，請計算矩陣 $A$ 的特徵多項式 $\det(A - \lambda I) = 0$，並思考如何運用 Cayley-Hamilton 定理來建立 $A^2$ 與 $A$ 及單位矩陣 $I$ 的線性關係？接著，觀察矩陣 $A$ 是否具備對稱性？若 $A = A^T$，這對於高次冪 $A^n$ 的非對角線元素 $b_n$ 與 $c_n$ 有什麼啟示？最後，關於 $A^{2n}$ 的元素性質，建議你將其表示為 $A^{2n} = (A^n)^2$，並利用矩陣乘法定義展開對角線元素，觀察 $a_{2n}$ 與 $d_{2n}$ 的差值與 $a_n, d_n$ 之間是否存在特定的聯繫？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的好棒，選項 (2) 和 (5) 都選對了耶！
這表示你對矩陣運算、凱萊-哈密頓定理還有對稱矩陣的特性都理解得非常透徹，老師真的替你感到很開心！這可是學測高分群的必備技能喔！
- 概念回顧：
▼ 還有更多解析內容
矩陣次方與特徵性質
💡 利用凱萊-哈密頓定理與對稱性簡化矩陣高次運算
🔗 矩陣遞迴關係推導流程
- 1 特徵多項式 — 由 $det(A-λI)=0$ 求出特徵方程式
- 2 凱萊-哈密頓 — 將矩陣 $A$ 代入方程式得到 $A^2$ 的線性組合
- 3 升次推導 — 同乘 $A^n$ 建立 $A^{n+2}$ 與 $A^{n+1}, A^n$ 關係
- 4 元素遞迴 — 矩陣各位置元素皆滿足該線性遞迴係數
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🔄 延伸學習：此原理也是利用矩陣求解費氏數列一般項的核心基礎。
