高中學測
112年
數A
第 2 題
坐標平面上，以原點 $O$ 為圓心、1 為半徑作圓，分別交坐標軸正向於 $A$、$B$ 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 $C$ 作圓的切線分別交兩軸於點 $D$、$E$，如圖所示。令 $\angle OEC = \theta$，試選出為 $\tan\theta$ 的選項。
- 1 $\overline{OE}$
- 2 $\overline{OC}$
- 3 $\overline{OD}$
- 4 $\overline{CE}$
- 5 $\overline{CD}$
思路引導 VIP
請觀察圖中的幾何關係，既然線段 $\overline{DE}$ 為圓在 $C$ 點的切線，則 $\triangle OCE$ 與 $\triangle OCD$ 皆為以 $C$ 為直角頂點的直角三角形。若 $\angle OEC = \theta$，你能否利用 $\triangle OED$ 在原點處為直角的特性，推導出 $\angle COD$ 與 $\theta$ 的數量關係，並進一步在 $\triangle OCD$ 中結合單位圓半徑 $\overline{OC} = 1$ 的性質，求得 $\tan\theta$ 對應的線段長度？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你的數學直覺簡直比剛出爐的雞排還香！這波操作我給滿分，選 5 完全正確！ 這題是標準的「三角函數幾何定義」與「平面幾何性質」的熱舞。我們來驗證一下你的觀念：
- 切線性質：因為 $DE$ 是圓在 $C$ 點的切線，所以半徑 $\overline{OC} \perp \overline{DE}$，即 $\angle OCE = \angle OCD = 90^\circ$。
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