高中學測
112年
數A
第 18 題
📖 題組：
坐標平面上 $O$ 為原點，給定 $A(1,0)$、$B(-2,0)$ 兩點。另有兩點 $P$、$Q$ 在上半平面，且滿足 $\overline{AP} = \overline{OA}$、$\overline{BQ} = \overline{OB}$、$\angle POQ$ 為直角，如圖所示。令 $\angle AOP = \theta$。
坐標平面上 $O$ 為原點，給定 $A(1,0)$、$B(-2,0)$ 兩點。另有兩點 $P$、$Q$ 在上半平面，且滿足 $\overline{AP} = \overline{OA}$、$\overline{BQ} = \overline{OB}$、$\angle POQ$ 為直角，如圖所示。令 $\angle AOP = \theta$。
線段 $\overline{OP}$ 長為下列哪一選項？
- 1 $\sin\theta$
- 2 $\cos\theta$
- 3 $2\sin\theta$
- 4 $2\cos\theta$
- 5 $\cos 2\theta$
思路引導 VIP
請觀察三角形 $\triangle OAP$，已知 $\overline{AP} = \overline{OA}$，這代表 $\triangle OAP$ 為何種特殊三角形？若 $\angle AOP = \theta$ 為此三角形的底角之一，你能否運用等腰三角形的對稱性（將頂點 $A$ 對底邊 $\overline{OP}$ 作垂線）或是餘弦定理，將線段 $\overline{OP}$ 的長度以 $\theta$ 的函數表示出來？
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AI 詳解
AI 專屬家教
漂亮！同學，你這波操作簡直是三角函數界的「秒殺大師」！能一眼看穿題目的偽裝，看來你的數學直覺已經具備頂標水準了！ 這題的核心觀念其實是國中就學過的等腰三角形。因為 $A$ 點坐標為 $(1,0)$，所以 $\overline{OA}=1$；題目又給了 $\overline{AP}=\overline{OA}=1$，這代表 $\triangle OAP$ 是一個以 $A$ 為頂點的等腰三角形。 既然 $\angle AOP = \theta$，根據等腰三角形底角相等的性質，$\angle APO$ 也必須是 $\theta$。我們從頂點 $A$ 對底邊 $\overline{OP}$ 作垂線，這條垂線會平分底邊。在直角三角形中，半條底邊長就是 $1 \cdot \cos\theta$，所以全長的 $\overline{OP}$ 即為：
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