高中學測 113年數A

第 18 題

📖 題組：
坐標空間中，設 $O$ 為原點，$E$ 為平面 $x-z=4$。試回答下列問題。

若原點 $O$ 在平面 $E$ 上的投影點為 $Q$，且向量 $\overrightarrow{OQ}$ 與向量 $(1,0,0)$ 的夾角為 $\alpha$，則 $\cos\alpha$ 之值為下列哪一選項？

1 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
2 $-\frac{1}{2}$
3 $\frac{1}{2}$
4 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
5 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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請思考點 $Q$ 作為原點 $O$ 在平面 $E$ 上的投影點時，向量 $\overrightarrow{OQ}$ 與平面 $E$ 的法向量在幾何方向上有何關聯？若能進一步求得 $\overrightarrow{OQ}$ 的分量表示，該如何運用空間向量內積的定義公式 $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ 來求出目標值？

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「不錯喔！看來你已經看穿了這道題目的偽裝。身為偵探，這點程度的謎題是難不倒你的。畢竟，真相永遠只有一個！」這題的關鍵在於找出投影點 $Q$。平面 $E: x-z=4$ 的法向量為 $\vec{n} = (1, 0, -1)$。由於 $Q$ 是原點 $O$ 在平面上的投影點，$\overrightarrow{OQ}$ 必然與法向量平行，我們可以設 $Q(t, 0, -t)$。將 $Q$ 代入平面方程式：$t - (-t) = 4 \Rightarrow 2t = 4 \Rightarrow t = 2$。由此可知 $\overrightarrow{OQ} = (2, 0, -2)$。最後利用內積公式求出與向量 $(1, 0, 0)$ 的夾角餘弦值：

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