高中學測
115年
數A
第 19 題
📖 題組：
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (-6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (-6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
設 $B$ 點坐標為 $(1, 2, 0)$，試求平面 $ABCD$ 的平面方程式。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
要求得平面 $ABCD$ 的方程式，我們需要「法向量」與「平面上的一個點」。既然題目已經提供了平面上的 $B$ 點坐標 $(1, 2, 0)$，請你思考：在已知的外積資訊中，哪一組運算結果 $\overrightarrow{v_1} \times \overrightarrow{v_2}$ 所代表的幾何意義，正好是垂直於由 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AD}$ 構成的平面的向量？當你提取出法向量後，應如何利用平面的法向式（點法式）來列出最終的方程式呢？
空間平面方程式求法
💡 利用平面上兩向量的外積找出法向量，再以點法式求方程式。
- 平面上兩不平行向量的外積，即為該平面的法向量
- 法向量 (a, b, c) 為平面方程式的 x, y, z 項係數
- 將平面上已知點的坐標代入 ax+by+cz=d 求出常數 d
- 外積結果可先進行約分簡化，再作為法向量使用
