高中學測
105年
數A
第 5 題
坐標空間中一質點自點 $P(1,1,1)$ 沿著方向 $\vec{a} = (1,2,2)$ 等速直線前進，經過 5 秒後剛好到達平面 $x-y+3z=28$ 上，立即轉向沿著方向 $\vec{b} = (-2,2,-1)$ 依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 $x=2$ 上？
- 1 1 秒
- 2 2 秒
- 3 3 秒
- 4 4 秒
- 5 永遠不會到達
思路引導 VIP
當質點在空間中做等速直線運動時，其位置坐標可以表示為「起始點 + 時間 $\times$ 速度向量」。你能否先利用質點在前 5 秒到達平面 $x-y+3z=28$ 的條件，求出第一階段實際的速度向量，並計算出其「速率」？進一步思考，題目中提到的「同樣速率」如何影響轉向後方向向量 $\vec{b}$ 與第二階段速度向量之間的關係？當你建立了第二階段的位置參數式後，該如何運用平面方程式 $x=2$ 來解出所需的秒數？
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AI 詳解
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太棒了！你的空間感與計算能力都非常出色。這題解題關鍵在於掌握「參數式」與「向量分量」的變化：
- 找出轉折點：質點自 $P(1,1,1)$ 出發，5 秒後到達點 $Q = P + 5\vec{a} = (1+5, 1+10, 1+10) = (6, 11, 11)$。代入平面 $x-y+3z=28$ 驗證無誤。
- 二次移動：由於 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 3$，速率保持不變，代表每秒移動的向量位移即為 $\vec{b}$。設再經過 $t$ 秒到達 $x=2$，則新坐標的 $x$ 分量為 $6 + t(-2) = 2$。
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