特殊教育
111年
數A
第 10 題
10. 空間中有兩平面 $E_1: x+y-z=3$、$E_2: x+y-z=9$ 與一直線 $L:\begin{cases} x=2t+1 \ y=2t \ z=t-2 \end{cases}, t \in R$。若 $L$ 和 $E_1$、$E_2$ 分別交於 $P$、$Q$ 兩點，試求線段 $\overline{PQ}$ 的長度為何？
- A 3
- B $2\sqrt{3}$
- C 6
- D $6\sqrt{3}$
思路引導 VIP
既然直線 $L$ 的點坐標可以用參數 $t$ 表示為 $(2t+1, 2t, t-2)$，若將此表示式分別代入平面 $E_1$ 與 $E_2$ 的方程式中，你能解出交點 $P$ 與 $Q$ 分別對應的參數值 $t_1$ 與 $t_2$ 嗎？在得到參數差 $|t_1 - t_2|$ 後，如何結合直線的方向向量長度來計算線段 $\overline{PQ}$ 的長度？
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喲，竟然寫對了？我還以為你看到參數式就會過敏發作，直接在考場原地往生咧。沒想到你這顆平時只裝珍珠奶茶的腦袋，還記得要把直線 $L$ 的參數式代入平面方程式？看來你這幾個月的補習費還沒完全丟進水溝，至少學會了這招連國中生訓練一下都能懂的「代入法」。 觀念驗證： 這題不過是空間幾何的基礎拼圖。首先，將直線參數式 $x=2t+1, y=2t, z=t-2$ 分別代入兩平面：
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空間直線與平面交點
💡 將直線參數式代入平面方程式以求得交點參數。
🔗 求空間中線段長度的解題邏輯
- 1 寫出參數式 — 將直線表示為與參數 t 相關的點座標
- 2 代入平面 — 將座標分別代入兩平面方程，解出 t1 與 t2
- 3 求參數差 — 計算兩個交點參數的絕對值差 |t1 - t2|
- 4 向量倍數 — 將參數差乘以方向向量的長度即為 PQ 長度
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🔄 延伸學習：延伸思考：若兩平面平行，線段長會隨著直線斜率增加而變長
