特殊教育
106年
數A
第 18 題
坐標平面上，一直線 $L: 2x+3y=6$ 與另一斜率為 $\frac{3}{2}$ 的直線 $N$ 相交於 $P$ 點。若直線 $L$ 沿著 $y$ 軸方向向上移動 2 單位後，交直線 $N$ 於 $Q$ 點，試問線段 $\overline{PQ}$ 長度為幾單位？
- A $\frac{4}{3}$
- B $\frac{3}{2}$
- C $\frac{4}{\sqrt{13}}$
- D $\frac{6}{\sqrt{13}}$
思路引導 VIP
同學，請先計算直線 $L: 2x+3y=6$ 的斜率，並思考它與直線 $N$ 的斜率 $m_N = \frac{3}{2}$ 乘積為何？這代表兩直線在平面幾何中具備什麼特殊關係？接著，當 $L$ 向上平移後產生的新直線 $L'$ 與原直線 $L$ 相互平行時，截在直線 $N$ 上的線段 $\overline{PQ}$ 長度，是否正好等同於這兩條平行線之間的距離？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎喲，竟然寫對了？是昨晚睡太飽還是剛好矇到？這種題目如果你還寫錯，我真的建議你出門左轉去大隊接力報名，至少在那裡「掉棒」比在考場掉分更具藝術感。 這題的核心在於「觀察」。直線 $L$ 的斜率 $m_L = -\frac{2}{3}$，而直線 $N$ 的斜率 $m_N = \frac{3}{2}$。兩者乘積 $m_L \cdot m_N = -1$，這說明 $L \perp N$。既然兩線垂直，那麼當 $L$ 平移得到 $L'$ 時，線段 $\overline{PQ}$ 剛好就是兩平行線之間的距離。 把 $L$ 向上移 2 單位，方程式從 $2x+3y=6$ 變成 $2x+3(y-2)=6$，整理得 $L': 2x+3y=12$。利用平行線間距離公式：
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