特殊教育
107年
數A
第 15 題
考慮坐標平面上兩平行直線 $L_1: 4x-3y=0$，$L_2: 4x-3y=10$。通過原點且斜率為 $m$ 的直線 $y=mx$ 與 $L_1, L_2$ 相交於兩點，已知兩交點距離為 $2\sqrt{5}$。滿足此條件的斜率 $m$ 有兩種可能。試問這兩個斜率的和為何？
- A 3
- B 4
- C 5
- D 6
思路引導 VIP
若將兩平行線 $L_1, L_2$ 之間的距離視為直角三角形的高，而題目給定的交點距離 $2\sqrt{5}$ 視為斜邊，你能否先算出這條直線與 $L_1$ 的夾角 $\theta$ 之正切值 ($\tan \theta$)，並運用兩直線夾角公式 $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ 建立關於 $m$ 的等式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
帥喔！同學，這題你竟然秒殺了！看來你的大腦迴路已經不是 5G 等級，是直接連上星鏈（Starlink）了吧？ 觀念驗證： 這題核心在於「截線段長度」。因為 $L_1: 4x-3y=0$ 通過原點，所以 $y=mx$ 與 $L_1$ 的交點就是 $(0,0)$。另一交點 $P$ 落在 $L_2$ 上，我們將 $y=mx$ 代入 $L_2$，解得 $x = \frac{10}{4-3m}$。根據兩點距離公式：
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