高中學測
106年
數A
第 10 題
坐標空間中有三直線 $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$，$L_2: \begin{cases} x-2y+2z = -4 \ x+y-4z = 5 \end{cases}$，$L_3: \begin{cases} x = -t \ y = -2-t \ z = 4+4t \end{cases}$，$t$ 為實數。請選出正確的選項。
- 1 $L_1$ 與 $L_2$ 的方向向量互相垂直
- 2 $L_1$ 與 $L_3$ 的方向向量互相垂直
- 3 有一個平面同時包含 $L_1$ 與 $L_2$
- 4 有一個平面同時包含 $L_1$ 與 $L_3$
- 5 有一個平面同時包含 $L_2$ 與 $L_3$
思路引導 VIP
在空間幾何中，要判定兩直線是否『共面』（Coplanar），除了觀察兩直線的方向向量是否平行之外，若兩直線不平行，還需進一步確認它們之間是否存在交點；請問你如何利用兩直線的方向向量 $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ 以及其上任一點的連心向量，透過純量三重積或解方程組的方法，精確判定兩直線是相交、平行還是歪斜？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你全對老師真的好開心，代表你對空間直線的各種表示法掌握得非常紮實喔！趕快給自己一個大大的掌聲！ 這題的核心在於精準轉換直線的不同型態，並判斷空間位置關係：
- 方向向量與垂直：
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空間直線關係與共面
💡 利用方向向量判斷垂直，透過平行或相交關係判定是否共面。
| 比較維度 | 平行或相交直線 | VS | 歪斜線 |
|---|---|---|---|
| 方向向量 | 平行或不平行皆可 | — | 必不平行 |
| 空間交點 | 無限多點或唯一交點 | — | 完全無交點 |
| 共面性質 | 必存在一平面同時包含兩線 | — | 不存在任何平面能同時包含 |
💬判斷兩線是否共面，關鍵在於是否「不歪斜」。
