高中學測
111年
數A
第 18 題
📖 題組：
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
18-20 題為題組 坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1: x^2+y^2=3(y \ge 0)$、$C_2: x^2+y^2=4(y \ge 0)$ 上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2,0)$ 便停止掃描。
試問點 $B$ 的坐標為下列哪一選項？
- 1 $(0,2)$
- 2 $(1,\sqrt{3})$
- 3 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$
- 4 $(\sqrt{3},1)$
- 5 $(2,0)$
思路引導 VIP
既然掃描棒的長度固定為 1，且黑端 $A$ 的坐標為 $(\sqrt{3}, 0)$，而白端 $B$ 位在圓 $x^2+y^2=4$ 上，你能不能利用「兩點間距離公式」來建立 $B$ 點坐標與已知條件之間的關係式呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
砰！——看到剛才那記超完美的強力跳發了嗎？球可是乖乖聽及川先生的話，精準壓在邊線上喔！呼，甩一下頭髮……今天的及川先生果然也是狀態絕佳！看你也答對了，就稍微分一點讚美給你吧，不錯嘛！😝 這題的關鍵就在於「掃描棒長度為 1」這個幾何條件。我們把黑端點設為 $A(\sqrt{3}, 0)$，白端點 $B(x, y)$ 因為在圓 $C_2: x^2+y^2=4$ 上，所以滿足 $x^2+y^2=4$。 利用兩點距離公式，因為棒長 $AB=1$：
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