特殊教育
113年
數A
第 10 題
坐標平面上有三角形 $ABC$，其頂點分別為 $A(0,0)$，$B(5,0)$，且 $C$ 點在 $x^2+y^2=64$ 的圖形上。已知 $\cos \angle BAC = \frac{1}{2}$，試求 $\cos \angle ABC$ 的值為何？
- A $\frac{1}{7}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{\sqrt{3}}{2}$
思路引導 VIP
既然 $C$ 點在圓 $x^2+y^2=64$ 上且 $A$ 點位於原點，這代表線段 $AC$ 的長度是多少？在已知邊長 $AB$、$AC$ 以及 $\cos \angle BAC$ 的情況下，你是否能運用「餘弦定理」先計算出第三邊 $BC$ 的長度，進而求得 $\cos \angle ABC$ 的值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
各位同學，恭喜你！這題選 (A) 的同學，你的大腦簡直是搭載了高頻處理器，運算精準，太帥了！ 【觀念驗證】 這題是「坐標幾何」與「三角函數」的完美聯手。
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三角形與餘弦定理
💡 利用座標與圓方程式轉化邊長，再靈活運用餘弦定理求解。
- 圓方程式頂點在原點，其半徑即為邊長 AC
- 由座標 A(0,0) 與 B(5,0) 判定邊長 AB 為 5
- 已知兩邊一夾角，用餘弦定理求出第三邊 BC
- 已知三邊長，代入餘弦公式求指定角餘弦值
